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得到一个能够使用正在统一网格上的高温与低温

时间:2019-09-12    

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  伊辛模子的简单引见 汪晓丹 1 Introduction to the Ising Model Outline 伊辛模子的定义及使用 一维伊辛模子的解析解法 二维伊辛模子的近似解法和切确求解临界温度 二维伊辛模子的蒙特卡洛模仿 三维伊辛模子的蒙特卡洛模仿 总结 2 一、伊辛模子的定义 铁磁物体的自觉磁化现象 定义:n维的空间内由N个格点(正方形格点、正六边形格点、三角形格点等)构成; 每个格点上占领一个自旋,自旋有两个标的目的,能够用向上↑ 或向下↓ 来暗示。 3 一、伊辛模子系统能量的两种暗示方式 由系统哈密顿量出发获得能量和配分函数还有其他热力学量。 4 ij: qN/2 项 一、伊辛模子系统能量的两种暗示方式 由系统哈密顿量出发获得能量和配分函数还有其他热力学量。 5 一、伊辛模子系统能量的两种暗示方式 用自旋向上和向下的格点数来描述 6 一、伊辛模子的使用 晶格气体 二元合金 Na=N+ N1=N- ; N2=N+ 7 简化动能和彼此感化 二、转移矩阵法求解一维伊辛模子的配分函数及比热、磁化强度等热力学量 周期性鸿沟前提 8 二、转移矩阵法求解一维伊辛模子的配分函数及比热、磁化强度等热力学量 哈密顿量 配分函数 9 二、转移矩阵法求解一维伊辛模子的配分函数及比热、磁化强度等热力学量 转移矩阵P 10 二、转移矩阵法求解一维伊辛模子的配分函数及比热、磁化强度等热力学量 用矩阵P改写配分函数 求矩阵P的特征值 11 二、转移矩阵法求解一维伊辛模子的配分函数及比热、磁化强度等热力学量 求解配分函数 获得能 12 二、转移矩阵法求解一维伊辛模子的配分函数及比热、磁化强度等热力学量 热力学量: 内能 13 二、转移矩阵法求解一维伊辛模子的配分函数及比热、磁化强度等热力学量 热力学量: 磁化强度 14 二、转移矩阵法求解一维伊辛模子的配分函数及比热、磁化强度等热力学量 热力学量: 磁化率 15 二、转移矩阵法求解一维伊辛模子的配分函数及比热、磁化强度等热力学量 结论 无外场环境下,磁化强度趋于零,也就是说不存正在自觉磁化现象以及无限温度下的相变。 彼此感化能为0的时候,将获得一个顺磁性的系统。 零外场下的系统内能和比热如下,这里能够取Bethe近似做比力。 16 三、二维伊辛模子的零阶近似 Bragg-Williams近似 近似方式: 假设正在给定系统中,格点上的粒子能量是由整个系统的平均有序程度决定的,而不是由具体的临近格点决定的。 这个近似完全不依赖于格点的具体布局以至是维数因而称之为零阶近似。 17 三、二维伊辛模子的零阶近似 定义长法式参量L,并用粒子数N来暗示L和磁化强度M。 能量表达式、能量差 玻尔兹曼表定律 18 三、二维伊辛模子的零阶近似 关于自觉磁化,拾掇上式获得关于L的方程 19 三、二维伊辛模子的零阶近似 绘图求解 L = 0 是一个解。 T qJ/k 时,上式有非零解。 正在临界温度以下L 才有非零解,即系统有自觉磁化现象。 20 三、二维伊辛模子的零阶近似 关于L0取T关系的进一步切磋 正在T 小于约等于Tc 时,用tanh x ≈ x −1/3x3 来近似能够获得 另一方面T → 0 时,L0 → 1 21 三、二维伊辛模子的零阶近似 无外场的环境下,系统的能量和比热表达式 22 三、二维伊辛模子的一阶近似 比拟零阶近似,一阶近似更详尽的研究了比来邻格点的彼此感化,考虑了格点的短法式。 将一个给定的自旋σ0看做是一簇格点的核心,这一簇格点由核心格点和他的q个比来邻格点构成。这些近邻点之间的彼此感化操纵平均场B′来暗示。 23 三、二维伊辛模子的一阶近似 哈密顿量 配分函数 24 三、二维伊辛模子的一阶近似 分化配分函数 25 三、二维伊辛模子的一阶近似 求解长法式 q弘远于1时,上式可退回零阶近似 26 三、二维伊辛模子的一阶近似 近邻格点自旋之间的关系 某种彼此感化定义为短法式,消弭长法式 27 三、二维伊辛模子的一阶近似 无外场下系统内能和比热 28 三、二维伊辛模子的一阶近似 比热的不持续性 29 三、操纵对偶性求解二维伊辛模子的临界温度 二维伊辛模子的对偶性解法次要是指正在别离正在高温下和低温下对配分函数进行展开;再操纵格点的两沉性,将高暖和低温下的配分函数对应起来找降临界温度。 正在无外场且只考虑比来邻格点之间的彼此感化的环境下配分函数 30 三、操纵对偶性求解二维伊辛模子的临界温度 高温展开 拾掇配分函数 31 三、操纵对偶性求解二维伊辛模子的临界温度 简化配分函数 32 三、操纵对偶性求解二维伊辛模子的临界温度 一维单链验证 N个格点构成的不闭合长链 N个格点构成的闭合长链 一维格点切确解 33 三、操纵对偶性求解二维伊辛模子的临界温度 低温展开 34 三、操纵对偶性求解二维伊辛模子的临界温度 低温取高温之间的转换关系 35 三、操纵对偶性求解二维伊辛模子的临界温度 低温取高温之间的转换关系 36 三、操纵对偶性求解二维伊辛模子的临界温度 对于网格变换后取本来的网格分歧的格点例如三角格点和正六边形格点,采用的方式是;先别离成立高暖和低温下的两种网格之间的转换关系,再连系两种变换,消去网格变换代来的影响,获得一个能够使用正在统一网格上的高温取低温之间的对应关系,求解临界温度。 37 三、二维伊辛模子的切确解 Onsager求解的二维伊辛模子的比热 杨振宁微扰法求解的平均磁化强度 38 四、二维伊辛模子的蒙特卡洛模仿(Metropolis 算法) 蒙特卡洛方式是通过成立一个概率模子,加上大量的试验来模仿。 正在伊辛模子中若是微不雅态a通过翻转一个自旋获得微不雅态b,那么这个自旋翻转的概率为 min[1; e(Eb − Ea)], 此中Ea和Eb为微不雅态a和b的能量。 39 四、二维伊辛模子的蒙特卡洛模仿(Metropolis 算法) 1.输入初始自旋,和初始自旋系统的能量; 2.取1到N之间的随机整数k; 3.求出若第k个自旋翻转会发生多大的能量差ΔE; 4.求出翻转概率Υ = e−ΔE; 5.取0到1间的随机数并取Υ比力,当随机数小于Υ时,翻转第k个自旋,并将能量差插手本来的能量中; 6.获得的新自旋系统和能量。 40 四、二维伊辛模子的蒙特卡洛模仿(Metropolis 算法) 具体的代码如下 41 四、二维伊辛模子的蒙特卡洛模仿(Metropolis 算法) 具体的代码如下 42 四、二维伊辛模子的蒙特卡洛模仿(Metropolis 算法) 具体的代码如下 43 四、二维伊辛模子的蒙特卡洛模仿(Metropolis 算法) Metropolis算法模仿二维伊辛模子获得的平均磁化强度随kBT的变化关系。 44 四、二维伊辛模子的蒙特卡洛模仿(Metropolis 算法) 模仿成果取杨振宁微扰法求解的平均磁化强度随温度函数变化的比力 45 四、二维伊辛模子的蒙特卡洛模仿(Metropolis 算法) Metropolis算法模仿二维伊辛模子获得的比热随kBT的变化关系。 46 四、二维伊辛模子的蒙特卡洛模仿(Metropolis 算法) Metropolis算法模仿的比热随kBT的变化关系取解析解比力。 47 四、二维伊辛模子的蒙特卡洛模仿(Heatbath 算法) 比拟上述算法中正在肆意随机的翻转自旋,Heatbath算法是通过某一个格点四周的其他格点上的自旋所形成的场来确定遭到该场影响的这个格点上的自旋该当向上仍是向下。 48 四、二维伊辛模子的蒙特卡洛模仿(Heatbath 算法) 算法比力 49 五、三维伊辛模子的蒙特卡洛模仿 正在计较比来邻格点时,考虑三维环境下一个格点的比来邻格点有六个,比拟于二维的四个比来邻格点排序需要添加格点前后的第五第六比来邻格点。 正在计较能量差和格点处的场时,需要计较考虑三维下格点四周六个比来邻格点带来的影响。 50 五、三维伊辛模子的蒙特卡洛模仿 三维伊辛模子的平均磁化强度随kBT的变化关系。 51 五、三维伊辛模子的蒙特卡洛模仿 三维伊辛模子的比热随kBT的变化关系。 52 六、总结 从成果看存正在的问题 格点体积不敷大,成果无法和热力学极限下求得的解析解完全分歧 法式运转时间长 改良方式 改良算法 改用GPU并行计较 53 54